Cómo calcular valores propios

Contenido

• Matrices, valores propios y vectores propios: lo que significan
• Cómo calcular valores propios
• Consejos
• Encontrar vectores propios

Cuando se le presenta una matriz en una clase de matemáticas o física, a menudo se le pedirá que encuentre sus valores propios. Si no está seguro de lo que eso significa o cómo hacerlo, la tarea es desalentadora e implica muchas terminologías confusas que empeoran aún más las cosas. Sin embargo, el proceso de cálculo de valores propios no es demasiado desafiante si se siente cómodo resolviendo ecuaciones cuadráticas (o polinómicas), siempre que aprenda los conceptos básicos de matrices, valores propios y vectores propios.

Matrices, valores propios y vectores propios: lo que significan

Las matrices son matrices de números donde A representa el nombre de una matriz genérica, como esta:

( 1 3 )

UNA = ( 4 2 )

Los números en cada posición varían, e incluso puede haber expresiones algebraicas en su lugar. Esta es una matriz de 2 × 2, pero vienen en una variedad de tamaños y no siempre tienen el mismo número de filas y columnas.

Tratar con matrices es diferente de tratar con números ordinarios, y existen reglas específicas para multiplicar, dividir, sumar y restar entre sí. Los términos "valor propio" y "vector propio" se usan en álgebra matricial para referirse a dos cantidades características con respecto a la matriz. Este problema de valor propio lo ayuda a comprender lo que significa el término:

UNA ∙ v = λ ∙ v

UNA es una matriz general como antes, v es un vector y λ es un valor característico. Mire la ecuación y observe que cuando multiplica la matriz por el vector v, el efecto es reproducir el mismo vector multiplicado por el valor λ. Este es un comportamiento inusual y gana el vector v y cantidad λ nombres especiales: el vector propio y el valor propio. Estos son valores característicos de la matriz porque multiplicar la matriz por el vector propio deja el vector sin cambios aparte de la multiplicación por un factor del valor propio.

Cómo calcular valores propios

Si tiene el problema del valor propio para la matriz de alguna forma, encontrar el valor propio es fácil (porque el resultado será un vector igual al original, excepto que se multiplica por un factor constante: el valor propio). La respuesta se encuentra resolviendo la ecuación característica de la matriz:

det (UNA – λyo) = 0

Dónde yo es la matriz de identidad, que está en blanco aparte de una serie de 1 que se ejecuta diagonalmente en la matriz. "Det" se refiere al determinante de la matriz, que para una matriz general:

(a b)

UNA = (c d)

Es dado por

det UNA = ad –bc

Entonces la ecuación característica significa:

(a - λ b)

det (UNA – λyo) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Como ejemplo de matriz, definamos UNA como:

( 0 1 )

UNA = (−2 −3 )

Entonces eso significa:

det (UNA – λyo) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Las soluciones para λ son los valores propios, y usted resuelve esto como cualquier ecuación cuadrática. Las soluciones son λ = - 1 y λ = - 2.

Consejos

Encontrar vectores propios

Encontrar los vectores propios es un proceso similar. Usando la ecuación:

(UNA – λ) ∙ v = 0

con cada uno de los valores propios que ha encontrado a su vez. Esto significa:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

(UNA – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

Puede resolver esto considerando cada fila por turno. Solo necesitas la proporción de v₁ a v₂, porque habrá infinitas soluciones potenciales para v₁ y v₂.