Cómo calcular CG

Contenido

• Cómo escribir sobre el centro de gravedad
• Cómo calcular el CG de un triángulo
• Fórmula del centro de gravedad para un rectángulo
• El centro de la ecuación de gravedad
• Trucos para encontrar el centro de gravedad

Antes de discutir el centro de gravedad, supongamos algunos parámetros. Uno, que se trata de un objeto que está en la superficie de la Tierra, no en el espacio en algún lugar. Y dos, que el objeto es razonablemente pequeño, digamos, no una nave espacial estacionada en la Tierra, esperando para despegar.Una vez que se eliminan todas esas influencias extraterrestres, está en una buena posición para calcular el centro de gravedad de los objetos geométricos utilizando una fórmula relativamente simple, y de hecho, debido a esas condiciones recién establecidas, utilizará la misma fórmula para encontrar el centro de gravedad para encontrar el centro de masa.

Cómo escribir sobre el centro de gravedad

El centro de gravedad en un plano bidimensional generalmente se denota por las coordenadas (x_cg, y_cg) o, a veces, por las variables X y y con una barra sobre ellos. Además, el término "centro de gravedad" a veces se abrevia a cg.

Cómo calcular el CG de un triángulo

Su libro de matemáticas o física a menudo tendrá cuadros para determinar el centro de equilibrio de ciertas figuras. Pero para algunas formas geométricas comunes, puede usar la fórmula apropiada del centro de gravedad para encontrar ese centro de gravedad de formas.

Para los triángulos, el centro de gravedad se encuentra en el punto donde se cruzan las tres medianas. Si comienza en un vértice del triángulo y luego dibuja una línea recta hasta el punto medio del otro lado, esa es una mediana. Haz lo mismo para los otros dos vértices, y el punto donde se cruzan las tres medianas es el centro de gravedad de los triángulos.

Y, por supuesto, hay una fórmula para eso. Si las coordenadas del centro de gravedad de los triángulos son (x_cg, y_cg), encontrará sus coordenadas de esta manera:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Donde (x₁, y₁), (X₂, y₂) y (x₃, y₃) son las coordenadas de los triángulos tres vértices. Puedes elegir qué vértice se le asigna qué número.

Fórmula del centro de gravedad para un rectángulo

¿Notó que para encontrar el centro de gravedad de un triángulo, simplemente promedia el valor de las coordenadas x, luego promedia el valor de las coordenadas y y utiliza los dos resultados como coordenadas para su centro de gravedad?

Para encontrar el centro de gravedad de un rectángulo, haces exactamente lo mismo. Pero para facilitar aún más sus cálculos, suponga que el rectángulo está orientado directamente a un plano de coordenadas cartesianas (por lo que no está configurado en ángulo), y que su vértice inferior izquierdo está en el origen del gráfico. En ese caso, para encontrar (x_cg, y_cg) para un rectángulo, todo lo que tiene que calcular es:

X_cg = ancho ÷ 2

y_cg = altura ÷ 2

Si no desea reubicar su rectángulo al origen del plano de coordenadas o si por alguna razón no es exactamente cuadrado a los ejes de coordenadas, puede enfrentar esta fórmula de aspecto un poco más aterrador, pero aún efectiva, para promediar todas sus coordenadas x para encontrar el valor de x_cgy promediar todas las coordenadas y para encontrar el valor de y_cg:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

El centro de la ecuación de gravedad

¿Qué sucede si necesita calcular el centro de gravedad para una forma que se ajuste a todas las suposiciones mencionadas anteriormente (básicamente, no está tratando de hacer una ciencia de cohetes literal al encontrar el centro de gravedad para los objetos en el espacio), pero no cae en ninguno de ¿Las categorías que acabamos de mencionar o en los cuadros al final de tu libro? Luego puede subdividir su forma en formas más familiares y usar las siguientes ecuaciones para encontrar su centro de gravedad colectivo:

X_cg = (a₁X₁ + a₂X₂ +. . . + a_norteX_norte) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_norte)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. . . + a_nortey_norte) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_norte)

O para decirlo de otra manera, x_cg es igual al área de la sección 1 veces su ubicación en el eje x, agregada al área de la sección 2 veces su ubicación, y así sucesivamente hasta que haya sumado el área multiplicada por la ubicación de todas las secciones; luego divida esa cantidad completa por el área total de todas las secciones. Luego haz lo mismo para y.

P: ¿Cómo encuentro el área de cada sección? Dividir su forma compleja o irregular en polígonos más familiares le permite usar fórmulas estandarizadas para encontrar el área. Por ejemplo, si ha dividido esa forma en piezas rectangulares, puede usar la fórmula largo × ancho para encontrar el área de cada pieza.

P: ¿Cuál es la "ubicación" de cada sección? La ubicación de cada sección es la coordenada apropiada del centro de gravedad de esa sección. Entonces si quieres₂ (la ubicación para el segmento 2), en realidad necesita proporcionar la coordenada y para el centro de gravedad de ese segmento. Nuevamente, esta es la razón por la que subdivide un objeto de forma extraña en formas más familiares, porque puede usar las fórmulas ya discutidas para encontrar el centro de gravedad de cada forma y luego extraer las coordenadas apropiadas.

P: ¿A dónde va mi figura en el plano de coordenadas? Puedes elegir dónde se encuentra tu forma en el plano de coordenadas; solo ten en cuenta que el centro de gravedad de tus respuestas estará en relación con el mismo punto de referencia. Es más fácil colocar su objeto en el primer cuadrante de su gráfico, con su borde inferior contra el eje xy el borde izquierdo contra el eje y para que todos los valores x e y sean positivos, pero también lo suficientemente pequeños como para ser manejable.

Trucos para encontrar el centro de gravedad

Si se trata de un solo objeto, la intuición y un poco de lógica son a veces todo lo que necesita para encontrar su centro de gravedad. Por ejemplo, si está considerando un disco plano, el centro de gravedad será el centro del disco. En un cilindro, es el punto medio en el eje de los cilindros. Para un rectángulo (o cuadrado), es el punto donde convergen las líneas diagonales.

Es posible que haya notado un patrón aquí: si el objeto en cuestión tiene una línea de simetría, el centro de gravedad estará en esa línea. Y si tiene múltiples ejes de simetría, el centro de gravedad será donde se cruzan esos ejes.

Finalmente, si está tratando de encontrar el centro de gravedad para un objeto verdaderamente complejo, tiene dos opciones: Sacar sus mejores integrales de cálculo (ver Recursos para una integral triple que representa el centro de gravedad para una masa no uniforme) o ingrese sus datos en una calculadora de centro de gravedad especialmente diseñada. (Consulte Recursos para ver un ejemplo de una calculadora de centro de gravedad para aviones controlados por radio).