Una función expresa relaciones entre constantes y una o más variables. Por ejemplo, la función f (x) = 5x + 10 expresa una relación entre la variable x y las constantes 5 y 10. Conocidas como derivadas y expresadas como dy / dx, df (x) / dx o f '(x), la diferenciación encuentra la tasa de cambio de una variable con respecto a otra; en el ejemplo, f (x) con respecto a x. La diferenciación es útil para encontrar la solución óptima, es decir, encontrar las condiciones máximas o mínimas. Existen algunas reglas básicas con respecto a las funciones diferenciadoras.
Diferenciar una función constante. La derivada de una constante es cero. Por ejemplo, si f (x) = 5, entonces f ’(x) = 0.
Aplica la regla de poder para diferenciar una función. La regla de potencia establece que si f (x) = x ^ n o x elevado a la potencia n, entonces f (x) = nx ^ (n - 1) o x elevado a la potencia (n - 1) y multiplicado por n . Por ejemplo, si f (x) = 5x, entonces f (x) = 5x ^ (1 - 1) = 5. Del mismo modo, si f (x) = x ^ 10, entonces f (x) = 9x ^ 9; y si f (x) = 2x ^ 5 + x ^ 3 + 10, entonces f (x) = 10x ^ 4 + 3x ^ 2.
Encuentre la derivada de una función usando la regla del producto. El diferencial de un producto no es el producto de los diferenciales de sus componentes individuales: si f (x) = uv, donde u y v son dos funciones separadas, entonces f (x) no es igual a f (u) multiplicado por f (v) Más bien, la derivada de un producto de dos funciones es la primera vez que la derivada de la segunda, más la segunda vez la derivada de la primera. Por ejemplo, si f (x) = (x ^ 2 + 5x) (x ^ 3), las derivadas de las dos funciones son 2x + 5 y 3x ^ 2, respectivamente. Luego, usando la regla del producto, f (x) = (x ^ 2 + 5x) (3x ^ 2) + (x ^ 3) (2x + 5) = 3x ^ 4 + 15x ^ 3 + 2x ^ 4 + 5x ^ 3 = 5x ^ 4 + 20x ^ 3.
Obtenga la derivada de una función usando la regla del cociente. Un cociente es una función dividida por otra. La derivada de un cociente es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, luego dividido por el denominador al cuadrado. Por ejemplo, si f (x) = (x ^ 2 + 4x) / (x ^ 3), las derivadas de las funciones de numerador y denominador son 2x + 4 y 3x ^ 2, respectivamente. Luego, usando la regla del cociente, f (x) = / (x ^ 3) ^ 2 = (2x ^ 4 + 4x ^ 3 - 3x ^ 4 - 12x ^ 3) / x ^ 6 = (-x ^ 4 - 8x ^ 3) / x ^ 6.
Usa derivados comunes. Las derivadas de funciones trigonométricas comunes, que son funciones de ángulos, no necesitan derivarse de los primeros principios: las derivadas de sen x y cos x son cos x y -sin x, respectivamente. La derivada de la función exponencial es la función misma: f (x) = f ’(x) = e ^ x, y la derivada de la función logarítmica natural, ln x, es 1 / x. Por ejemplo, si f (x) = sen x + x ^ 2 - 4x + 5, entonces f (x) = cos x + 2x - 4.