Contenido
- Operaciones matemáticas inversas
- Las funciones pueden ser inversas o directas
- Dos funciones pueden tener una relación inversa entre sí
Puedes ver las relaciones inversas en matemáticas de tres maneras. La primera forma es considerar las operaciones que se cancelan entre sí. La suma y la resta son las dos operaciones más obvias que se comportan de esta manera.
Una segunda forma de ver las relaciones inversas es considerar el tipo de curvas que producen cuando grafica las relaciones entre dos variables. Si la relación entre las variables es directa, entonces la variable dependiente aumenta cuando aumenta la variable independiente, y el gráfico se curva hacia valores crecientes de ambas variables. Sin embargo, si la relación es inversa, la variable dependiente se hace más pequeña cuando la independiente aumenta, y el gráfico se curva hacia valores más pequeños de la variable dependiente.
Ciertos pares de funciones proporcionan un tercer ejemplo de relaciones inversas. Cuando grafica funciones que son inversas entre sí en un eje x-y, las curvas aparecen como imágenes especulares entre sí con respecto a la línea x = y.
Operaciones matemáticas inversas
La suma es la más básica de las operaciones aritméticas, y viene con un gemelo malvado, la resta, que puede deshacer lo que hace. Digamos que comienza con 5 y agrega 7. Obtiene 12, pero si resta 7, se quedará con el 5 con el que comenzó. El inverso de la suma es la resta, y el resultado neto de sumar y restar el mismo número es equivalente a sumar 0.
Existe una relación inversa similar entre la multiplicación y la división, pero hay una diferencia importante. El resultado neto de multiplicar y dividir un número por el mismo factor es multiplicar el número por 1, lo que lo deja sin cambios. Esta relación inversa es útil al simplificar expresiones algebraicas complejas y resolver ecuaciones.
Otro par de operaciones matemáticas inversas es elevar un número a un exponente "n" y tomar la enésima raíz del número. La relación cuadrada es la más fácil de considerar. Si cuadras 2, obtienes 4, y si sacas la raíz cuadrada de 4, obtienes 2. Esta relación inversa también es útil para recordar al resolver ecuaciones complejas.
Las funciones pueden ser inversas o directas
Una función es una regla que produce un, y solo uno, resultado para cada número que ingrese. El conjunto de números que ingresa se denomina dominio de la función, y el conjunto de resultados que produce la función es el rango. Si la función es directa, una secuencia de dominio de números positivos que se hacen más grandes produce una secuencia de números de rango que también se hacen más grandes. F (x) = 2x + 2, f (x) = x2 y f (x) = √x son todas funciones directas.
Una función inversa se comporta de manera diferente. Cuando los números en el dominio se hacen más grandes, los números en el rango se hacen más pequeños. F (x) = 1 / x es la forma más simple de una función inversa. A medida que x se hace más grande, f (x) se acerca cada vez más a 0. Básicamente, cualquier función con la variable de entrada en el denominador de una fracción, y solo en el denominador, es una función inversa. Otros ejemplos incluyen f (x) = n / x, donde n es cualquier número, f (x) = n / √x yf (x) = n / (x + w) donde w es cualquier número entero.
Dos funciones pueden tener una relación inversa entre sí
Un tercer ejemplo de una relación inversa en matemáticas es un par de funciones que son inversas entre sí. Como ejemplo, suponga que ingresa los números 2, 3, 4 y 5 en la función y = 2x + 1.Obtienes estos puntos: (2,5), (3,7), (4,9) y (5,11). Esta es una línea recta con pendiente 2 e intersección en y 1.
Ahora invierta los números entre paréntesis para crear una nueva función: (5,2), (7,3), (9,4) y (11,5). El rango de la función original se convierte en el dominio de la nueva y el dominio de la función original se convierte en el rango de la nueva. También es una línea, pero su pendiente es 1/2 y su intersección en y es -1/2. Usando la forma y = mx + b de una línea, encuentras que la ecuación de la línea es y = (1/2) (x - 1). Esta es la inversa de la función original. Podría derivarlo fácilmente cambiando x e y en la función original y simplificando para obtener y por sí mismo a la izquierda del signo igual.