La distancia euclidiana es la distancia entre dos puntos en el espacio euclidiano. El espacio euclídeo fue ideado originalmente por el matemático griego Euclides alrededor del 300 a.E.C. para estudiar las relaciones entre ángulos y distancias. Este sistema de geometría todavía está en uso hoy y es el que los estudiantes de secundaria estudian con más frecuencia. La geometría euclidiana se aplica específicamente a espacios de dos y tres dimensiones. Sin embargo, se puede generalizar fácilmente a dimensiones de orden superior.
Calcule la distancia euclidiana para una dimensión. La distancia entre dos puntos en una dimensión es simplemente el valor absoluto de la diferencia entre sus coordenadas. Matemáticamente, esto se muestra como | p1 - q1 | donde p1 es la primera coordenada del primer punto y q1 es la primera coordenada del segundo punto. Usamos el valor absoluto de esta diferencia ya que normalmente se considera que la distancia solo tiene un valor no negativo.
Tome dos puntos P y Q en un espacio euclidiano bidimensional. Describiremos P con las coordenadas (p1, p2) y Q con las coordenadas (q1, q2). Ahora construya un segmento de línea con los puntos finales de P y Q. Este segmento de línea formará la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Extendiendo los resultados obtenidos en el Paso 1, observamos que las longitudes de las patas de este triángulo están dadas por | p1 - q1 | y | p2 - q2 |. La distancia entre los dos puntos se dará como la longitud de la hipotenusa.
Use el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la hipotenusa en el Paso 2. Este teorema establece que c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 donde c es la longitud de una hipotenusa de triángulos rectángulos y a, b son las longitudes de la otra dos piernas. Esto nos da c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). La distancia entre 2 puntos P = (p1, p2) y Q = (q1, q2) en el espacio bidimensional es por lo tanto ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Extienda los resultados del Paso 3 al espacio tridimensional. La distancia entre los puntos P = (p1, p2, p3) y Q = (q1, q2, q3) se puede dar como ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generalice la solución en el Paso 4 para la distancia entre dos puntos P = (p1, p2, ..., pn) y Q = (q1, q2, ..., qn) en n dimensiones. Esta solución general se puede dar como ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).