Contenido
- TL; DR (demasiado largo; no leído)
- ¿Qué es un número complejo?
- Reglas básicas para álgebra con números complejos
- División de números complejos
- Simplificando números complejos
El álgebra a menudo implica simplificar expresiones, pero algunas expresiones son más confusas de tratar que otras. Los números complejos involucran la cantidad conocida como yo, un número "imaginario" con la propiedad yo = √ − 1. Si tiene que simplemente una expresión que involucra un número complejo, puede parecer desalentador, pero es un proceso bastante simple una vez que aprende las reglas básicas.
TL; DR (demasiado largo; no leído)
Simplifique los números complejos siguiendo las reglas de álgebra con números complejos.
¿Qué es un número complejo?
Los números complejos se definen por su inclusión de la yo término, que es la raíz cuadrada de menos uno. En matemáticas de nivel básico, las raíces cuadradas de números negativos no existen realmente, pero ocasionalmente aparecen en problemas de álgebra. La forma general de un número complejo muestra su estructura:
z = una + bi
Dónde z etiqueta el número complejo, una representa cualquier número (llamado la parte "real") y si representa otro número (llamado la parte "imaginaria"), que pueden ser positivas o negativas. Entonces, un número complejo de ejemplo es:
z = 2 −4_i_
Dado que todas las raíces cuadradas de números negativos pueden representarse por múltiplos de yo, esta es la forma de todos los números complejos. Técnicamente, un número regular solo describe un caso especial de un número complejo donde si = 0, por lo que todos los números podrían considerarse complejos.
Reglas básicas para álgebra con números complejos
Para sumar y restar números complejos, simplemente sume o reste las partes real e imaginaria por separado. Entonces para números complejos z = 2 - 4_i_ y w = 3 + 5_i_, la suma es:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)yo
= 5 + 1_i_ = 5 + yo
Restar los números funciona de la misma manera:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)yo
= −1 - 9_i_
La multiplicación es otra operación simple con números complejos, porque funciona como la multiplicación ordinaria, excepto que debes recordar que yo2 = −1. Entonces para calcular 3_i_ × −4_i_:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Pero desde yo2= −1, entonces:
−12_i_2 = −12 ×−1 = 12
Con números completos completos (usando z = 2 - 4_i_ y w = 3 + 5_i_ nuevamente), los multiplicas de la misma manera que lo harías con números ordinarios como (una + si) (C + re), utilizando el método "primero, interno, externo, último" (FOIL), para dar (una + si) (C + re) = C.A + antes de Cristo + anuncio + bd. Todo lo que debe recordar es simplificar cualquier instancia de yo2. Así por ejemplo:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
División de números complejos
Dividir números complejos implica multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado complejo del denominador. El conjugado complejo solo significa la versión del número complejo con la parte imaginaria invertida en signo. Entonces para z = 2 - 4_i_, el conjugado complejo z = 2 + 4_i_, y para w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Por el problema:
z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
El conjugado necesario es w*. Divide el numerador y el denominador entre esto para obtener:
z / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
Y luego trabajas como en la sección anterior. El numerador da:
(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14-22_i_
Y el denominador da:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
Esto significa:
z / w = (−14-22_i_) / 34
= −14/34 - 22_i_ / 34
= −7/17 - 11_i_ / 17
Simplificando números complejos
Use las reglas anteriores según sea necesario para simplificar expresiones complejas. Por ejemplo:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - yo)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ yo))
Esto se puede simplificar usando la regla de suma en el numerador, la regla de multiplicación en el denominador y luego completando la división. Para el numerador:
(4 + 2_i_) + (2 - yo) = 6 + yo
Para el denominador:
(2 + 2_i _) (2+ yo) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
Poner estos de nuevo en su lugar da:
z = (6 + yo) / (2 + 6_i_)
Multiplicar ambas partes por el conjugado del denominador conduce a:
z = (6 + yo) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9-17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
Entonces esto significa z simplifica de la siguiente manera:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - yo)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ yo)) = 9/20 −17_i_ / 20