Contenido
- Polinomios con fracciones definidas
- Conceptos básicos de factorización: propiedad distributiva y método FOIL
- Pasos a seguir al factorizar fracciones polinomiales
- Evaluación de ecuaciones mediante descomposición de fracciones parciales
- Simplifica el Denominador
- Reorganizar el numerador
La mejor manera de factorizar polinomios con fracciones comienza reduciendo las fracciones a términos más simples. Los polinomios representan expresiones algebraicas con dos o más términos, más específicamente, la suma de términos múltiples que tienen diferentes expresiones de la misma variable. Las estrategias que ayudan a simplificar los polinomios implican factorizar el máximo factor común, seguido de agrupar la ecuación en sus términos más bajos. Lo mismo es válido incluso cuando se resuelven polinomios con fracciones.
Polinomios con fracciones definidas
Tiene tres formas de ver la frase polinomios con fracciones. La primera interpretación aborda polinomios con fracciones para coeficientes. En álgebra, el coeficiente se define como la cantidad numérica o constante encontrada antes de una variable. En otras palabras, los coeficientes para 7a, by (1/3) c son 7, 1 y (1/3) respectivamente. Dos ejemplos, por lo tanto, de polinomios con coeficientes de fracción serían:
(1/4) x2 + 6x + 20 así como x2 + (3/4) x + (1/8).
La segunda interpretación de "polinomios con fracciones" se refiere a polinomios existentes en forma de fracción o razón con un numerador y un denominador, donde el polinomio numerador se divide por el polinomio denominador. Por ejemplo, esta segunda interpretación está ilustrada por:
(X2 + 7x + 10) ÷ (x2 + 11x + 18)
La tercera interpretación, mientras tanto, se relaciona con la descomposición de fracción parcial, también conocida como expansión de fracción parcial. A veces, las fracciones polinómicas son complejas, de modo que cuando se "descomponen" o "descomponen" en términos más simples, se presentan como sumas, diferencias, productos o cocientes de fracciones polinómicas. Para ilustrar, la fracción polinómica compleja de (8x + 7) ÷ (x2 + x - 2) se evalúa a través de la descomposición de fracción parcial, que, por cierto, implica la factorización de polinomios, para ser + en forma más simple.
Conceptos básicos de factorización: propiedad distributiva y método FOIL
Los factores representan dos números que, cuando se multiplican, equivalen a un tercer número. En las ecuaciones algebraicas, la factorización determina qué dos cantidades se multiplicaron para llegar a un polinomio dado. La propiedad distributiva se sigue mucho al multiplicar polinomios. La propiedad distributiva esencialmente permite multiplicar una suma multiplicando cada número individualmente antes de sumar los productos. Observe, por ejemplo, cómo se aplica la propiedad distributiva en el ejemplo de:
7 (10x + 5) para llegar al binomio de 70x + 35.
Pero, si dos binomios se multiplican juntos, se utiliza una versión extendida de la propiedad distributiva a través del método FOIL. FOIL representa el acrónimo de los términos Primero, Exterior, Interior y Último que se multiplican. Por lo tanto, factorizar polinomios implica realizar el método FOIL al revés. Tome los dos ejemplos antes mencionados con los polinomios que contienen coeficientes de fracción. Realizar el método FOIL al revés en cada uno de ellos da como resultado los factores de:
((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) para el primer polinomio y los factores de:
(x + (1/4)) (x + (1/2)) para el segundo polinomio.
Ejemplo: (1/4) x2 + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)
Ejemplo: x2 + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))
Pasos a seguir al factorizar fracciones polinomiales
Desde arriba, las fracciones polinómicas implican un polinomio en el numerador dividido por un polinomio en el denominador. La evaluación de fracciones polinómicas requiere, por lo tanto, factorizar primero el polinomio numerador, seguido de factorizar el polinomio denominador. Ayuda a encontrar el máximo factor común, o MCD, entre el numerador y el denominador. Una vez que se encuentra el MCD tanto del numerador como del denominador, se cancela, reduciendo finalmente la ecuación completa en términos simplificados. Considere el ejemplo original de fracción polinómica arriba de
(X2 + 7x + 10) ÷ (x2+ 11x + 18).
Factorizando los polinomios numerador y denominador para encontrar los resultados de GCF en:
÷, siendo el MCD (x + 2).
El MCD tanto en el numerador como en el denominador se cancela entre sí para proporcionar la respuesta final en los términos más bajos de (x + 5) ÷ (x + 9).
Ejemplo:
X2 + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)
__ = ___ = __
X2+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)
Evaluación de ecuaciones mediante descomposición de fracciones parciales
La descomposición de fracciones parciales, que implica la factorización, es una forma de reescribir ecuaciones de fracciones polinómicas complejas en una forma más simple. Revisando el ejemplo de arriba de
(8x + 7) ÷ (x2 + x - 2).
Simplifica el Denominador
Simplifica el denominador para obtener: (8x + 7) ÷.
8x + 7 8x + 7
__ = __
X2 + x - 2 (x + 2) (x - 1)
Reorganizar el numerador
A continuación, reorganice el numerador para que comience a tener los GCF presentes en el denominador, para obtener:
(3x + 5x - 3 + 10) ÷, que se expande aún más a {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.
8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10
____ = ___ = ______ +
(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)
Para el sumado izquierdo, el MCD es (x - 1), mientras que para el sumo derecho, el MCD es (x + 2), que se cancela en el numerador y el denominador, como se ve en {+}.
3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)
___ + __ = ___ +
(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)
Por lo tanto, cuando los GCF se cancelan, la respuesta simplificada final es +:
3 5
__ + __ como la solución de la descomposición de fracción parcial.
x + 2 x - 1