Cómo encontrar las raíces de un polinomio

Contenido

• ¿Cuántas raíces?
• Advertencias
• Encontrar raíces por factorización: ejemplo 1
• Encontrar raíces por factorización: ejemplo 2
• Encuentra raíces graficando

Las raíces de un polinomio también se llaman ceros, porque las raíces son X valores en los cuales la función es igual a cero. Cuando se trata de encontrar las raíces, tiene múltiples técnicas a su disposición; factorizar es el método que usará con más frecuencia, aunque los gráficos también pueden ser útiles.

¿Cuántas raíces?

Examine el término de mayor grado del polinomio, es decir, el término con el máximo exponente. Ese exponente es cuántas raíces tendrá el polinomio. Entonces, si el máximo exponente en su polinomio es 2, tendrá dos raíces; si el máximo exponente es 3, tendrá tres raíces; y así.

Advertencias

Encontrar raíces por factorización: ejemplo 1

La forma más versátil de encontrar raíces es factorizar su polinomio tanto como sea posible, y luego establecer cada término igual a cero. Esto tiene mucho más sentido una vez que haya seguido algunos ejemplos. Considere el polinomio simple X² - 4_x: _

Un breve examen muestra que puedes factorizar X fuera de ambos términos del polinomio, lo que te da:

X(X – 4)




Establecer cada término a cero. Eso significa resolver dos ecuaciones:

X = 0 es el primer término establecido en cero, y

X - 4 = 0 es el segundo término establecido en cero.

Ya tienes la solución para el primer término. Si X = 0, entonces toda la expresión es igual a cero. Entonces X = 0 es una de las raíces, o ceros, del polinomio.

Ahora, considere el segundo término y resuelva para X. Si agrega 4 a ambos lados, tendrá:

X - 4 + 4 = 0 + 4, que se simplifica a:

X = 4. Entonces si X = 4, entonces el segundo factor es igual a cero, lo que significa que todo el polinomio es igual a cero también.

Debido a que el polinomio original era de segundo grado (el exponente más alto era dos), usted sabe que solo hay dos posibles raíces para este polinomio. Ya los has encontrado a ambos, así que todo lo que tienes que hacer es enumerarlos:




X = 0, X = 4

Encontrar raíces por factorización: ejemplo 2

Aquí hay un ejemplo más de cómo encontrar raíces factorizando, usando un poco de álgebra elegante en el camino. Considera el polinomio X⁴ - 16. Un vistazo rápido a sus exponentes muestra que debe haber cuatro raíces para este polinomio; ahora es el momento de encontrarlos.

¿Notaste que este polinomio se puede reescribir como la diferencia de cuadrados? Entonces en lugar de X⁴ - 16, tienes:

(X²)² – 4²

Lo cual, usando la fórmula para la diferencia de cuadrados, factoriza lo siguiente:

(X² – 4)(X² + 4)

El primer término es, nuevamente, una diferencia de cuadrados. Entonces, aunque ya no puede factorizar el término a la derecha, puede factorizar el término a la izquierda un paso más:

(X – 2)(X + 2)(X² + 4)

Ahora es el momento de encontrar los ceros. Rápidamente queda claro que si X = 2, el primer factor será igual a cero y, por lo tanto, toda la expresión será igual a cero.

Del mismo modo, si X = -2, el segundo factor será igual a cero y, por lo tanto, también lo será la expresión completa.

Entonces X = 2 y X = -2 son ambos ceros, o raíces, de este polinomio.

¿Pero qué hay del último término? Debido a que tiene un exponente "2", debe tener dos raíces. Pero no puedes factorizar esta expresión usando los números reales a los que estás acostumbrado. Debería usar un concepto matemático muy avanzado llamado números imaginarios o, si lo prefiere, números complejos. Eso va mucho más allá del alcance de su práctica matemática actual, por lo que por ahora es suficiente para notar que tiene dos raíces reales (2 y -2) y dos raíces imaginarias que dejará sin definir.

Encuentra raíces graficando

También puede encontrar, o al menos estimar, raíces graficando. Cada raíz representa un punto donde la gráfica de la función cruza el X eje. Entonces, si grafica la línea y luego nota el X coordenadas donde la línea cruza el X eje, puede insertar el estimado X valores de esos puntos en su ecuación y verifique si los ha acertado.

Considere el primer ejemplo que trabajó, para el polinomio X² - 4_x_. Si lo dibujas con cuidado, verás que la línea cruza el X eje en X = 0 y X = 4. Si ingresa cada uno de estos valores en la ecuación original, obtendrá:

0² - 4 (0) = 0, entonces X = 0 era un cero válido o raíz para este polinomio.

4² - 4 (4) = 0, entonces X = 4 también es un cero o raíz válida para este polinomio. Y debido a que el polinomio era de grado 2, sabes que puedes dejar de buscar dos raíces.