Cómo calcular la trayectoria de una bala

Contenido

• TL; DR (demasiado largo; no leído)
• El trasfondo: (x) e (y) Componentes de la velocidad
• Trayectorias básicas con las ecuaciones de aceleración constante
• Incorporando Arrastrar

Calcular la trayectoria de una bala sirve como una introducción útil a algunos conceptos clave en la física clásica, pero también tiene mucho alcance para incluir factores más complejos. En el nivel más básico, la trayectoria de una bala funciona igual que la trayectoria de cualquier otro proyectil. La clave es separar los componentes de la velocidad en los ejes (x) e (y), y usar la aceleración constante debida a la gravedad para determinar qué tan lejos puede volar la bala antes de tocar el suelo. Sin embargo, también puede incorporar arrastre y otros factores si desea una respuesta más precisa.

TL; DR (demasiado largo; no leído)

Ignore la resistencia al viento para calcular la distancia recorrida por una bala usando la fórmula simple:

x = v_0x√2h ÷ g

Donde (v_0x) es su velocidad inicial, (h) es la altura desde la que se dispara y (g) es la aceleración debida a la gravedad.

Esta fórmula incorpora arrastre:

x = v_X0t - CρAv² t² ÷ 2m

Aquí, (C) es el coeficiente de arrastre de la bala, (ρ) es la densidad del aire, (A) es el área de la bala, (t) es el tiempo de vuelo y (m) es la masa de la bala.

El trasfondo: (x) e (y) Componentes de la velocidad

El punto principal que debe comprender al calcular las trayectorias es que las velocidades, las fuerzas o cualquier otro "vector" (que tenga una dirección y una fuerza) se pueden dividir en "componentes". Si algo se mueve en un ángulo de 45 grados hacia la horizontal, piense que se mueve horizontalmente con cierta velocidad y verticalmente con cierta velocidad. La combinación de estas dos velocidades y teniendo en cuenta sus diferentes direcciones le da la velocidad del objeto, incluida la velocidad y su dirección resultante.

Use las funciones cos y sin para separar fuerzas o velocidades en sus componentes. Si algo se mueve a una velocidad de 10 metros por segundo en un ángulo de 30 grados con respecto a la horizontal, la componente x de la velocidad es:

v_X = v cos (θ) = 10 m / s × cos (30 °) = 8.66 m / s

Donde (v) es la velocidad (es decir, 10 metros por segundo), y puede colocar cualquier ángulo en el lugar de (θ) para adaptarse a su problema. El componente (y) viene dado por una expresión similar:

v_y = v sin (θ) = 10 m / s × sin (30 °) = 5 m / s

Estos dos componentes conforman la velocidad original.

Trayectorias básicas con las ecuaciones de aceleración constante

La clave para la mayoría de los problemas que involucran trayectorias es que el proyectil deja de moverse hacia adelante cuando golpea el piso. Si la bala se dispara desde 1 metro en el aire, cuando la aceleración debida a la gravedad la baja 1 metro, no puede viajar más. Esto significa que el componente y es lo más importante a considerar.

La ecuación para el desplazamiento del componente y es:

y = v_0y t - 0.5gt²

El subíndice "0" significa la velocidad inicial en la dirección (y), (t) significa tiempo y (g) significa la aceleración debida a la gravedad, que es 9.8 m / s². Podemos simplificar esto si la bala se dispara perfectamente horizontalmente, por lo que no tiene una velocidad en la dirección (y). Esto deja:

y = -0.5gt²

En esta ecuación, (y) significa el desplazamiento desde la posición inicial, y queremos saber cuánto tiempo tarda la bala en caer desde su altura inicial (h). En otras palabras, queremos

y = −h = -0.5gt²

Que reorganizas para:

t = √2h ÷ g

Este es el momento del vuelo para la bala. Su velocidad de avance determina la distancia que recorre, y esto viene dado por:

x = v_0x t

Donde la velocidad es la velocidad a la que deja el arma. Esto ignora los efectos del arrastre para simplificar las matemáticas. Usando la ecuación para (t) encontrada hace un momento, la distancia recorrida es:

x = v_0x√2h ÷ g

Para una bala que dispara a 400 m / sy se dispara desde 1 metro de altura, esto da:

X__ = 400 m / s √

= 400 m / s × 0.452 s = 180.8 m

Entonces la bala viaja unos 181 metros antes de tocar el suelo.

Incorporando Arrastrar

Para una respuesta más realista, construya arrastre en las ecuaciones anteriores. Esto complica un poco las cosas, pero puede calcularlo con bastante facilidad si encuentra los bits de información necesarios sobre su bala y la temperatura y presión donde se dispara. La ecuación para la fuerza debida al arrastre es:

F_arrastrar = −CρAv² ÷ 2

Aquí (C) representa el coeficiente de arrastre de la bala (puede encontrar una bala específica, o usar C = 0.295 como figura general), ρ es la densidad del aire (aproximadamente 1.2 kg / metro cúbico a presión y temperatura normales) , (A) es el área de la sección transversal de una viñeta (puede resolver esto para una viñeta específica o simplemente usar A = 4.8 × 10⁻⁵ metro², el valor para un calibre .308) y (v) es la velocidad de la bala. Finalmente, usa la masa de la bala para convertir esta fuerza en una aceleración para usar en la ecuación, que puede tomarse como m = 0.016 kg a menos que tenga una bala específica en mente.

Esto da una expresión más complicada para la distancia recorrida en la dirección (x):

x = v_X0t - CρAV² t² ÷ 2m

Esto es complicado porque técnicamente, el arrastre reduce la velocidad, lo que a su vez reduce el arrastre, pero puede simplificar las cosas simplemente calculando el arrastre en función de la velocidad inicial de 400 m / s. Usando un tiempo de vuelo de 0.452 s (como antes), esto da:

X__ = 400 m / s × 0.452 s - ÷ 2 × 0.016 kg

= 180.8 m - (0.555 kg m ÷ 0.032 kg)

= 180.8 m - 17.3 m = 163.5 m

Entonces, la adición de arrastre cambia la estimación en aproximadamente 17 metros.