Una serie de Taylor es un método numérico para representar una función dada. Este método tiene aplicación en muchos campos de ingeniería. En algunos casos, como la transferencia de calor, el análisis diferencial da como resultado una ecuación que se ajusta a la forma de una serie de Taylor. Una serie de Taylor también puede representar una integral si la integral de esa función no existe analíticamente. Estas representaciones no son valores exactos, pero calcular más términos en la serie hará que la aproximación sea más precisa.
Elija un centro para la serie Taylor. Este número es arbitrario, pero es una buena idea elegir un centro donde haya simetría en la función o donde el valor para el centro simplifique las matemáticas del problema. Si está calculando la representación de la serie Taylor de f (x) = sin (x), un buen centro para usar es a = 0.
Determine la cantidad de términos que desea calcular. Cuantos más términos use, más precisa será su representación, pero dado que una serie de Taylor es una serie infinita, es imposible incluir todos los términos posibles. El ejemplo de sin (x) usará seis términos.
Calcule las derivadas que necesitará para la serie. Para este ejemplo, debe calcular todas las derivadas hasta la sexta derivada. Como la serie Taylor comienza en "n = 0", debe incluir la derivada "0th", que es solo la función original. 0a derivada = sin (x) 1ra = cos (x) 2da = -sin (x) 3ra = -cos (x) 4ta = sin (x) 5ta = cos (x) 6ta = -sin (x)
Calcule el valor de cada derivada en el centro que eligió. Estos valores serán los numeradores para los primeros seis términos de la serie Taylor. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Use los cálculos derivados y el centro para determinar los términos de la serie Taylor. 1er término; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2do término; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3er término; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4to término; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5to término; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! Sexto término; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Serie de Taylor para sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Suelte los términos cero en la serie y simplifique la expresión algebraicamente para determinar la representación simplificada de la función. Esta será una serie completamente diferente, por lo que los valores de "n" utilizados anteriormente ya no se aplican. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! - ... Dado que los signos alternan entre positivo y negativo, el primer componente de la ecuación simplificada debe ser (-1) ^ n, ya que no hay números pares en la serie. El término (-1) ^ n da como resultado un signo negativo cuando n es impar y un signo positivo cuando n es par. La representación en serie de números impares es (2n + 1). Cuando n = 0, este término es igual a 1; cuando n = 1, este término es igual a 3 y así hasta el infinito. En este ejemplo, use esta representación para los exponentes de xy los factoriales en el denominador
Use la representación de la función en lugar de la función original. Para ecuaciones más avanzadas y difíciles, una serie de Taylor puede resolver una ecuación insoluble, o al menos dar una solución numérica razonable.