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Cuando "eleva un número a una potencia", está multiplicando el número por sí mismo, y el "poder" representa cuántas veces lo hace. Entonces 2 elevado a la 3ª potencia es lo mismo que 2 x 2 x 2, que es igual a 8. Cuando eleva un número a una fracción, sin embargo, va en la dirección opuesta: está tratando de encontrar la "raíz" de la número.
Terminología
El término matemático para elevar un número a una potencia es "exponenciación". Una expresión exponencial tiene dos partes: la base, que es el número que está elevando, y el exponente, que es la "potencia". Por lo tanto, cuando eleva 2 a la 3ª potencia, la base es 2 y el exponente es 3. Elevar la base a la 2ª potencia se suele denominar cuadrar la base, mientras que elevarla a la 3ª potencia se suele denominar cubicación de la base. Los matemáticos suelen escribir expresiones exponenciales con el exponente en superíndice, es decir, como un pequeño número en la esquina superior derecha de la base. Debido a que algunas computadoras, calculadoras y otros dispositivos no manejan muy bien el superíndice, las expresiones exponenciales también se escriben comúnmente así: 2 ^ 3. El símbolo de intercalación, el símbolo que apunta hacia arriba, le dice que lo que sigue es el exponente.
Raíces
En matemáticas, las "raíces" son un poco como exponentes a la inversa. Por ejemplo, tome "2 a la 4ª potencia", abreviado como 2 ^ 4. Eso es igual a 2 x 2 x 2 x 2, o 16. Dado que 2 multiplicado por sí mismo cuatro veces es igual a 16, la "cuarta raíz" de 16 es 2. Ahora mira el número 729. Eso se divide en 9 x 9 x 9 - entonces 9 es la 3ra raíz de 729. También se divide en 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 - entonces 3 es la 6ta raíz de 729. La 2da raíz de un número comúnmente se llama raíz cuadrada , y la tercera raíz es la raíz cúbica.
Exponentes fraccionales
Cuando el exponente es una fracción, estás buscando una raíz de la base. La raíz corresponde al denominador de la fracción. Por ejemplo, tome "125 elevado a la potencia de 1/3", o 125 ^ 1/3. El denominador de la fracción es 3, por lo que está buscando la tercera raíz (o raíz cúbica) de 125. Debido a que 5 x 5 x 5 = 125, la tercera raíz de 125 es 5. Por lo tanto, 125 ^ 1/3 = 5. Ahora prueba 256 ^ 1/4. Estás buscando la cuarta raíz de 256. Dado que 4 x 4 x 4 x 4 = 256, la respuesta es 4.
Numeradores distintos de 1
Los exponentes fraccionales discutidos hasta este punto - 1/3 y 1/4 - tienen cada uno un numerador de 1. Si el numerador es algo distinto de 1, el exponente en realidad le está indicando que realice dos operaciones: encontrar una raíz y elevando a un poder. Por ejemplo, toma 8 ^ 2/3. El denominador "3" te dice que estás buscando una raíz cúbica; el numerador "2" te dice que subirás a la segunda potencia. No importa qué operación realice primero. Obtendrá el mismo resultado de cualquier manera. Entonces, podría comenzar tomando la tercera raíz de 8, que es 2, y luego elevarla a la segunda potencia, lo que le daría 4. O podría comenzar elevando 8 a la segunda potencia, que equivale a 64, y luego tomar la tercera raíz de ese número, que es 4. Mismo resultado.
Una regla universal
De hecho, la regla de "numerador como potencia, denominador como raíz" se aplica a todos los exponentes, incluso los exponentes de números enteros y los exponentes fraccionarios con un numerador de 1. Por ejemplo, el número entero 2 es el equivalente de la fracción 2 / 1) Entonces, la expresión exponencial 9 ^ 2 es "realmente" 9 ^ 2/1. Elevar 9 a la segunda potencia te da 81. Ahora tienes que obtener la "1ra raíz" de 81. Pero la 1ra raíz de cualquier número es el número mismo, por lo que la respuesta sigue siendo 81. Ahora mira la expresión 9 ^ 1 / 2) Podrías comenzar elevando 9 al "1er poder". Pero cualquier número elevado a la primera potencia es el número mismo. Entonces, todo lo que tiene que hacer es obtener la raíz cuadrada de 9, que es 3. La regla aún se aplica, pero en estas situaciones, puede omitir un paso.