Cómo integrar funciones de raíz cuadrada

Contenido

• Integración de funciones básicas de raíz cuadrada
• Integración de funciones de raíz cuadrada más complejas

La integración de funciones es una de las aplicaciones centrales del cálculo. A veces, esto es sencillo, como en:

F (x) = ∫ (x³ + 8) dx

En un ejemplo comparativamente complicado de este tipo, puede usar una versión de la fórmula básica para integrar integrales indefinidas:

∫ (x^norte + A) dx = x^{(n + 1)}/ (n + 1) + An + C,

donde A y C son constantes.

Así, para este ejemplo,

∫ x³ + 8 = x⁴/ 4 + 8x + C.

Integración de funciones básicas de raíz cuadrada

En la superficie, integrar una función de raíz cuadrada es incómodo. Por ejemplo, puede verse obstaculizado por:

F (x) = ∫ √dx

Pero puedes expresar una raíz cuadrada como exponente, 1/2:

√ x³ = x^3(1/2) = x^(3/2)

La integral por lo tanto se convierte en:

∫ (x^3/2 + 2x - 7) dx

a lo que puede aplicar la fórmula habitual desde arriba:

= x^(5/2)/ (5/2) + 2 (x²/ 2) - 7x

= (2/5) x^(5/2) + x² - 7x

Integración de funciones de raíz cuadrada más complejas

A veces, puede tener más de un término bajo el signo radical, como en este ejemplo:

F (x) = ∫ dx

Puede usar la sustitución en U para continuar. Aquí, pones u igual a la cantidad en el denominador:

u = √ (x - 3)

Resuelve esto para x al cuadrar ambos lados y restando:

tu² = x - 3

x = u² + 3

Esto le permite obtener dx en términos de u tomando la derivada de x:

dx = (2u) du

Sustituir de nuevo en la integral original da

F (x) = ∫ (u² + 3 + 1) / udu

= ∫du

= ∫ (2u² + 8) du

Ahora puede integrar esto usando la fórmula básica y expresando u en términos de x:

∫ (2u² + 8) du = (2/3) u³ + 8u + C

= (2/3) ³ + 8 + C

= (2/3) (x - 3)^(3/2) + 8 (x - 3)^(1/2) + C