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- Integración de funciones básicas de raíz cuadrada
- Integración de funciones de raíz cuadrada más complejas
La integración de funciones es una de las aplicaciones centrales del cálculo. A veces, esto es sencillo, como en:
F (x) = ∫ (x3 + 8) dx
En un ejemplo comparativamente complicado de este tipo, puede usar una versión de la fórmula básica para integrar integrales indefinidas:
∫ (xnorte + A) dx = x(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
donde A y C son constantes.
Así, para este ejemplo,
∫ x3 + 8 = x4/ 4 + 8x + C.
Integración de funciones básicas de raíz cuadrada
En la superficie, integrar una función de raíz cuadrada es incómodo. Por ejemplo, puede verse obstaculizado por:
F (x) = ∫ √dx
Pero puedes expresar una raíz cuadrada como exponente, 1/2:
√ x3 = x3(1/2) = x(3/2)
La integral por lo tanto se convierte en:
∫ (x3/2 + 2x - 7) dx
a lo que puede aplicar la fórmula habitual desde arriba:
= x(5/2)/ (5/2) + 2 (x2/ 2) - 7x
= (2/5) x(5/2) + x2 - 7x
Integración de funciones de raíz cuadrada más complejas
A veces, puede tener más de un término bajo el signo radical, como en este ejemplo:
F (x) = ∫ dx
Puede usar la sustitución en U para continuar. Aquí, pones u igual a la cantidad en el denominador:
u = √ (x - 3)
Resuelve esto para x al cuadrar ambos lados y restando:
tu2 = x - 3
x = u2 + 3
Esto le permite obtener dx en términos de u tomando la derivada de x:
dx = (2u) du
Sustituir de nuevo en la integral original da
F (x) = ∫ (u2 + 3 + 1) / udu
= ∫du
= ∫ (2u2 + 8) du
Ahora puede integrar esto usando la fórmula básica y expresando u en términos de x:
∫ (2u2 + 8) du = (2/3) u3 + 8u + C
= (2/3) 3 + 8 + C
= (2/3) (x - 3)(3/2) + 8 (x - 3)(1/2) + C